Stabilité des chocs non classiques pour des lois de conservation non convexes

Abstract

En premier lieu, nous étudions l’existence et les propriétés des ondes de choc réalisées comme limite d’une régularisation linéaire de type diffusion-dispersion pour la classe des lois de conservation hyperbolique avec un flux générique non convexe ayant un nombre arbitraire de points d’inflexion. Nous introduisons la construction d’une famille de fonctions cinétiques, basée sur la généralisation de la règle de surface égale de Maxwell. Notre résultat principal est une caractérisation (par une fonction cinétique) de tous les chocs admissibles : pour chaque état de gauche et chaque vitesse de choc, nous montrons qu’il existe un choc non classique avec des oscillations arbitraires. De plus, nous énonçons les conditions dans lesquelles une discontinuité est admissible et nous décrivons la famille de toutes les solutions au problème de Riemann. Ce travail constitue une extension des travaux effectués par Bedjaoui, Chalons, Coquel et LeFloch concernant les gaz isentropiques avec une loi d’état de Van der Walls couvrant le cas de deux points d’inflexion. Ensuite, nous nous intéressons à l’existence d’une classe de solutions non classiques au problème de valeur initiale pour les systèmes hyperboliques de lois de conservation non linéaires dans une variable spatiale. Les solutions considérées présentent un modèle de "splitting/merging" constitué d’ondes classiques et non classiques qui interagissent ensemble. Notre analyse s’appuie sur un nouveau solveur de Riemann non classique qui est motivé par une fonction cinétique et par un critère de nucléation qui choisit entre le régime classique et non classique. Toutes les solutions satisfont une seule inégalité d’entropie associée à une paire entropie-flux d’entropie donnée. La preuve d’existence de la stabilité non linéaire s’appuie sur l’introduction de nouvelles fonctionnelles qui mesurent de façon appropriée la variation totale et le potentiel d’interaction des ondes non classiques et classiques. Ce travail est une généralisation des travaux effectués par Laforest- LeFloch qui ont déjà établi l’existence de solutions d’entropie non classiques pour les équations scalaires.

First, we study the existence and the properties of shock waves realized as the limit of a linear diffusive-dispersive regularization for the class of hyperbolic conservation laws with generic non-convex flux having an arbitrary number of inflection points. We introduce the construction of a corresponding family of kinetic functions, based on a generalization ofMaxwell’s equal area rule. Our main result is a characterization (via a kinetic function) of all admissible shocks : for each left-hand state and each shock speed, we prove that there exists a nonclassical shock with arbitrary many oscillations. Moreover, we state conditions under which a discontinuity is entropy dissipative and we describe the family of all entropy dissipative solutions to the Riemann problem. This work is an extension of the work done by Bedjaoui, Chalons, Coquel and LeFloch on the Van der Walls isentropic gases covering the case of two inflection points. Next, we are interested in the existence of a class of nonclassical entropy solutions to the initial value problem for nonlinear hyperbolic systems of conservation laws in one space variable. The solutions under consideration exhibit a splitting/merging pattern made of classical and nonclassical waves that interact together. Our analysis is based on a new non-classical Riemann solver which is motivated by a kinetic relation for the propagation of nonclassical shocks and by a nucleation criterion that selects between classical and nonclassical behavior. All solutions satisfy a single entropy inequality associated with a given entropy pair. Our existence proof of nonlinear stability builds on the introduction of a new total variation functional which suitably measure the total variation and wave interaction of nonclassical and classical waves. This work is a generalization of the work done by Laforest-LeFloch who have already established the existence of nonclassical entropy solutions for scalar equations.