Superintégrabilité quantique avec une intégrale de mouvement de cinquième ordre

Abstract

Le projet de ce mémoire s'inscrit dans un programme global ayant pour but d'obtenir et classifier tous les systèmes superintégrables en deux dimensions et admettant des intégrales de mouvement polynomiales et d'ordre arbitraire N en p_1 et p_2, les deux moments conjugués associés à E_2. Dans notre étude, présentée sous forme d'un article, on s'intéresse spécifiquement à la coexistence de l'hamiltonien avec une intégrale de mouvement de cinquième ordre. On obtient les équations à dérivées partielles nécessaires pour qu'une telle intégrale existe et on les simplifie ensuite en supposant que les potentiels recherchés V(x,y) sont séparables c'est-à-dire V(x,y)=V_1(x)+V_2(y). Avec l'existence de l'intérgrale de cinquième ordre, cette supposition garantit aussi la superintégrabilité du système. On réussit à montrer que lorsque les deux composantes V_1(x) et V_2(y) ne satisfont aucune EDO linéaire, ils sont toujours solutions d'une EDO non linéaire qui possède la propriété de Painlevé. Dans la majorité des cas, on exprime toutes les solutions en terme de transcendantes déjà connues, incluant les fonctions elliptiques et les six fonctions transcendantales de Painlevé. Les équations non linéraires reliées aux cas non résolus peuvent définir de nouvelles transcendantes.

The present thesis is part of a general program whose purpose is to obtain and classify all superintegrable systems in two dimensions with integrals of motion that are polynomials of arbitrary order (degree) N in p_1 and p_2, the two components of the linear momentum. In this study, presented in a single article, we investigate the coexistence of the Hamiltonian with a fifth-order quantum integral of motion. We derive the determining equations that guarantee the existence of this integral and we simplify them by assuming that the potentials V(x,y) are separable in Cartesian coordinates, i.e. V(x,y)=V_1(x)+V_2(y), a supposition which, together with the existence of an independent fifth order integral, also guarantees the superintegrablity of the system. We show that when both V_1(x) and V_2(y) do not satisfy any linear ODE, they are always solutions of nonlinear ODEs. These equations are found to have the Painlevé property. Most of them are solved in terms of known Painlevé transcendents or elliptic functions. The others may define new higher order Painlevé trenscendents.