Dénombrement dans les empilements apolloniens généralisés et distribution angulaire dans les extensions quadratiques imaginaires

Abstract

Cette thèse traite de deux thèmes principaux. Le premier concerne l'étude des empilements apolloniens généralisés de cercles et de sphères. Généralisations des classiques empilements apolloniens, dont l'étude remonte à la Grèce antique, ces objets s'imposent comme particulièrement attractifs en théorie des nombres. Dans cette thèse sera étudié l'ensemble des courbures (les inverses des rayons) des cercles ou sphères de tels empilements. Sous de bonnes conditions, ces courbures s'avèrent être toutes entières. Nous montrerons qu'elles vérifient un principe local-global partiel, nous compterons le nombre de cercles de courbures plus petites qu'une quantité donnée et nous nous intéresserons également à l'étude des courbures premières. Le second thème a trait à la distribution angulaire des idéaux (ou plutôt ici des nombres idéaux) des corps de nombres quadratiques imaginaires (que l'on peut voir comme la distribution des points à coordonnées entières sur des ellipses). Nous montrerons que la discrépance de l'ensemble des angles des nombres idéaux entiers de norme donnée est faible et nous nous intéresserons également au problème des écarts bornés entre les premiers d'extensions quadratiques imaginaires dans des secteurs.

This thesis consists of two main parts. In the first one, we study generalized Apollonian circles and spheres packings. Apollonian packings date back to ancient Greece and, from a number theoretical point of view, are very attractive objects. In this thesis, we will study the set of curvatures (the inverses of the radii) of a generalization of such packings. Under the right conditions, these curvatures are integers. We will show that they satisfy a partial local-global principle, we will count the number of circles of curvatures bounded by some parameter T and we will study the set of prime curvatures. The second part is related to the angular distribution of ideals (or ideal numbers in our case) in imaginary quadratic number fields (which can be seen as the distribution of lattice points on ellipses). We will show that the discrepancy of the set of angles of integral ideal numbers of a given norm is small and we will look at the problem of bounded gaps between prime elements of imaginary quadratic extensions in sectors.