Modélisation bayésienne avec des splines du comportement moyen d'un échantillon de courbes

Abstract

Cette thèse porte sur l'analyse bayésienne de données fonctionnelles dans un contexte hydrologique. L'objectif principal est de modéliser des données d'écoulements d'eau d'une manière parcimonieuse tout en reproduisant adéquatement les caractéristiques statistiques de celles-ci. L'analyse de données fonctionnelles nous amène à considérer les séries chronologiques d'écoulements d'eau comme des fonctions à modéliser avec une méthode non paramétrique. Dans un premier temps, les fonctions sont rendues plus homogènes en les synchronisant. Ensuite, disposant d'un échantillon de courbes homogènes, nous procédons à la modélisation de leurs caractéristiques statistiques en faisant appel aux splines de régression bayésiennes dans un cadre probabiliste assez général. Plus spécifiquement, nous étudions une famille de distributions continues, qui inclut celles de la famille exponentielle, de laquelle les observations peuvent provenir. De plus, afin d'avoir un outil de modélisation non paramétrique flexible, nous traitons les noeuds intérieurs, qui définissent les éléments de la base des splines de régression, comme des quantités aléatoires. Nous utilisons alors le MCMC avec sauts réversibles afin d'explorer la distribution a posteriori des noeuds intérieurs. Afin de simplifier cette procédure dans notre contexte général de modélisation, nous considérons des approximations de la distribution marginale des observations, nommément une approximation basée sur le critère d'information de Schwarz et une autre qui fait appel à l'approximation de Laplace. En plus de modéliser la tendance centrale d'un échantillon de courbes, nous proposons aussi une méthodologie pour modéliser simultanément la tendance centrale et la dispersion de ces courbes, et ce dans notre cadre probabiliste général. Finalement, puisque nous étudions une diversité de distributions statistiques au niveau des observations, nous mettons de l'avant une approche afin de déterminer les distributions les plus adéquates pour un échantillon de courbes donné.

This thesis is about Bayesian functional data analysis in hydrology. The main objective is to model water flow data in a parsimonious fashion while still reproducing the statistical features of the data. Functional data analysis leads us to consider the water flow time series as functions to be modelled with a nonparametric method. First, the functions are registered in order to make them more homogeneous. With a more homogeneous sample of curves, we proceed to model their statistical features by relying on Bayesian regression splines in a fairly broad probabilistic framework. More specifically, we study a family of continuous distributions, which include those of the exponential family, from which the data might have arisen. Furthermore, to have a flexible nonparametric modeling tool, we treat the interior knots, which define the basis elements of the regression splines, as random quantities. We then use MCMC with reversible jumps in order to explore the posterior distribution of the interior knots. In order to simplify the procedure in our general modeling context, we consider some approximations for the marginal distribution of the observations, namely one based on the Schwarz information criterion and another which relies on Laplace's approximation. In addition to modeling the central tendency of a sample of curves, we also propose a methodology to simultaneously model the central tendency and the dispersion of the curves in our general probabilistic framework. Finally, since we study several statistical distributions for the observations, we put forward an approach to determine the most adequate distributions for a given sample of curves.