Droites sur les hypergraphes
Thèse ou mémoire
Résumé·s
Le Théorème de Sylvester-Gallai affirme que dans un ensemble fini S de points
dans le plan, où les points ne sont pas tous sur une même droite, il y a une droite
qui passe par exactement deux points de S. Chvátal [14] a étendu la notion de
droites aux espaces métriques arbitraires et a fait une conjecture généralisant le
Théorème de Sylvester-Gallai. Chen [10] a démontré cette conjecture qui s’appelle
maintenant le Théorème de Sylvester-Chvátal.
En 1943, Erdos [18] a remarqué un corollaire pour le Théorème de Sylvester-Gallai
affirmant que, dans un ensemble fini V de points dans le plan, où les points ne
sont pas tous sur une droite, le nombre de droites qui passent par au moins deux
points de V est au moins |V |. De Bruijn et Erdos [7] ont généralisé ce corollaire,
en utilisant une définition généralisée de droite (voir Chapitre 2) et ont prouvé
que tout ensemble de n points, où les points ne sont pas tous sur une même droite,
détermine au moins n droites distinctes.
Dans le présent mémoire, nous allons étudier les théorèmes mentionnés ci-dessus.
Nous allons aussi considérer le Théorème de De Bruijn-Erdos dans le cadre des
hypergraphes et des espaces métriques. The Sylvester-Gallai theorem states that in a finite set S of points in the
plane, not all on the same line, there is a line passing through exactly two points
of S. Chvátal [14] extended the concept of lines to arbitrary metric spaces and
made a conjecture generalizing the Sylvester-Gallai theorem. Chen [10] proved
this conjecture which is now called The Sylvester-Chvátal Theorem.
In 1943, Erdos [18] noticed a corollary to the Sylvester-Gallai theorem stating
that, in a finite set V of points in the plane, not all on a line, the number of lines
that pass through at least two points of V is at least |V |. De Bruijn et Erdos [7]
generalized this corollary, using a generalized definition of a line (see Chapter 2)
and proved that any set of n points, not all on the same line, determines at least
n distinct lines.
In this master’s thesis, we will study the theorems mentioned above. We will also
look at the Theorem of De Bruijn-Erdos within the framework of hypergraphs
and various metric spaces.
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