Cobordismes lagrangiens et uniréglage

Abstract

Ce mémoire traite de la question suivante: est-ce que les cobordismes lagrangiens préservent l'uniréglage? Dans les deux premiers chapitres, on présente en survol la théorie des courbes pseudo-holomorphes nécessaire. On examine d'abord en détail la preuve que les espaces de courbes $ J $-holomorphes simples est une variété de dimension finie. On présente ensuite les résultats nécessaires à la compactification de ces espaces pour arriver à la définition des invariants de Gromov-Witten. Le troisième chapitre traite ensuite de quelques résultats sur la propriété d'uniréglage, ce qu'elle entraine et comment elle peut être démontrée. Le quatrième chapitre est consacré à la définition et la description de l'homologie quantique, en particulier celle des cobordismes lagrangiens, ainsi que sa structure d'anneau et de module qui sont finalement utilisées dans le dernier chapitre pour présenter quelques cas ou la conjecture tient.

In this dissertation we study the following question: do Lagrangian cobordisms preserve uniruling? In the two first chapters, the necessary pseudoholomorphic curves theory is quickly presented. We first study in detail the proof that the spaces of simple $ J $-holomorphic curves is a manifold of finite dimension. We then present the necessary results to produce the appropriate compactification of these spaces to get to the definition of Gromov-Witten invariants. In the third chapter then some results on the property of uniruling are presented: what are its consequences, how can it be obtained. In the fourth chapter quantum homology is defined, in particular for Lagrangian cobordism, and its ring and module structures are studied which are finally used in the last chapter to present examples of cobordisms which preserves uniruling.