Partitions spectrales optimales pour les problèmes aux valeurs propres de Dirichlet et de Neumann

Abstract

Les façons d'aborder l'étude du spectre du laplacien sont multiples. Ce mémoire se concentre sur les partitions spectrales optimales de domaines planaires. Plus précisément, lorsque nous imposons des conditions aux limites de Dirichlet, nous cherchons à trouver la ou les partitions qui réalisent l'infimum (sur l'ensemble des partitions à un certain nombre de composantes) du maximum de la première valeur propre du laplacien sur tous ses sous-domaines. Dans les dernières années, cette question a été activement étudiée par B. Helffer, T. Hoffmann-Ostenhof, S. Terracini et leurs collaborateurs, qui ont obtenu plusieurs résultats analytiques et numériques importants.

Dans ce mémoire, nous proposons un problème analogue, mais pour des conditions aux limites de Neumann cette fois. Dans ce contexte, nous nous intéressons aux partitions spectrales maximales plutôt que minimales. Nous cherchons alors à vérifier le maximum sur toutes les $k$-partitions possibles du minimum de la première valeur propre non nulle de chacune des composantes. Cette question s'avère plus difficile que sa semblable dans la mesure où plusieurs propriétés des valeurs propres de Dirichlet, telles que la monotonicité par rapport au domaine, ne tiennent plus. Néanmoins, quelques résultats sont obtenus pour des 2-partitions de domaines symétriques et des partitions spécifiques sont trouvées analytiquement pour des domaines rectangulaires. En outre, des propriétés générales des partitions spectrales optimales et des problèmes ouverts sont abordés.

There exist many ways to study the spectrum of the Laplace operator. This master thesis focuses on optimal spectral partitions of planar domains. More specifically, when imposing Dirichlet boundary conditions, we try to find partitions that achieve the infimum (over all the partitions of a given number of components) of the maximum of the first eigenvalue of the Laplacian in all the subdomains. This question has been actively studied in recent years by B. Helffer, T. Hoffmann-Ostenhof, S. Terracini and their collaborators, who obtained a number of important analytic and numerical results.

In the present thesis we propose a similar problem, but for the Neumann boundary conditions. In this case, we are looking for spectral maximal, rather than minimal, partitions. More precisely, we attempt to find the maximum over all possible $k$-partitions of the minimum of the first non-zero Neumann eigenvalue of each component. This question appears to be more difficult than the one for the Dirichlet conditions, since many properties of Dirichlet eigenvalues, such as domain monotonicity, no longer hold in the Neumann case. Nevertheless, some results are obtained for 2-partitions of symmetric domains, and specific partitions are found analytically for rectangular domains. In addition, some general properties of optimal spectral partitions and open problems are also discussed.