Introduction à quelques aspects de quantification géométrique

Abstract

On révise les prérequis de géométrie différentielle nécessaires à une première approche de la théorie de la quantification géométrique, c'est-à-dire des notions de base en géométrie symplectique, des notions de groupes et d'algèbres de Lie, d'action d'un groupe de Lie, de G-fibré principal, de connexion, de fibré associé et de structure presque-complexe. Ceci mène à une étude plus approfondie des fibrés en droites hermitiens, dont une condition d'existence de fibré préquantique sur une variété symplectique. Avec ces outils en main, nous commençons ensuite l'étude de la quantification géométrique, étape par étape. Nous introduisons la théorie de la préquantification, i.e. la construction des opérateurs associés à des observables classiques et la construction d'un espace de Hilbert. Des problèmes majeurs font surface lors de l'application concrète de la préquantification : les opérateurs ne sont pas ceux attendus par la première quantification et l'espace de Hilbert formé est trop gros. Une première correction, la polarisation, élimine quelques problèmes, mais limite grandement l'ensemble des observables classiques que l'on peut quantifier.

Ce mémoire n'est pas un survol complet de la quantification géométrique, et cela n'est pas son but. Il ne couvre ni la correction métaplectique, ni le noyau BKS. Il est un à-côté de lecture pour ceux qui s'introduisent à la quantification géométrique. D'une part, il introduit des concepts de géométrie différentielle pris pour acquis dans (Woodhouse [21]) et (Sniatycki [18]), i.e. G-fibrés principaux et fibrés associés. Enfin, il rajoute des détails à quelques preuves rapides données dans ces deux dernières références.

We review some differential geometric prerequisite needed for an initial approach of the geometric quantization theory, i.e. basic notions in symplectic geometry, Lie group, Lie group action, principal G-bundle, connection, associated bundle, almost-complex structure. This leads to an in-depth study of Hermitian line bundles that leads to an existence condition for a prequantum line bundle over a symplectic manifold. With these tools, we start a study of geometric quantization, step by step. We introduce the prequantization theory, which is the construction of operators associated to classical observables and construction of a Hilbert space. Some major problems arise when applying prequantization in concrete examples : the obtained operators are not exactly those expected by first quantization and the constructed Hilbert space is too big. A first correction, polarization, corrects some problems, but greatly limits the set of classical observables that we can quantize.

This dissertation is not a complete survey of geometric quantization, which is not its goal. It's not covering metaplectic correction, neither BKS kernel. It's a side lecture for those introducing themselves to geometric quantization. First, it's introducing differential geometric concepts taken for granted in (Woodhouse [21]) and (Sniatycki [18]), i.e. principal G-bundles and associated bundles. Secondly, it adds details to some brisk proofs given in these two last references.