Représentation et identification des hypersurfaces

Abstract

L’objectif à moyen terme de ce travail est d’explorer quelques formulations des problèmes d’identification de forme et de reconnaissance de surface à partir de mesures ponctuelles. Ces problèmes ont plusieurs applications importantes dans les domaines de l’imagerie médicale, de la biométrie, de la sécurité des accès automatiques et dans l’identification de structures cohérentes lagrangiennes en mécanique des fluides. Par exemple, le problème d’identification des différentes caractéristiques de la main droite ou du visage d’une population à l’autre ou le suivi d’une chirurgie à partir des données générées par un numériseur. L’objectif de ce mémoire est de préparer le terrain en passant en revue les différents outils mathématiques disponibles pour appréhender la géométrie comme variable d’optimisation ou d’identification. Pour l’identification des surfaces, on explore l’utilisation de fonctions distance ou distance orientée, et d’ensembles de niveau comme chez S. Osher et R. Fedkiw ; pour la comparaison de surfaces, on présente les constructions des métriques de Courant par A. M. Micheletti en 1972 et le point de vue de R. Azencott et A. Trouvé en 1995 qui consistent à générer des déformations d’une surface de référence via une famille de difféomorphismes. L’accent est mis sur les fondations mathématiques sous-jacentes que l’on a essayé de clarifier lorsque nécessaire, et, le cas échéant, sur l’exploration d’autres avenues.

The mid-term objective of this work is to explore some formulations of shape identification and surface recognition problems from point measurements. Those problems have important applications in medical imaging, biometrics, security of the automatic access, and in the identification of Lagrangian Coherent Structures in Fluid Mechanics. For instance, the problem of identifying the different characteristics of the right hand or the face from a population to another or the follow-up after surgery from data generated by a scanner.

The objective of this mémoire is to prepare the ground by reviewing the different mathematical tools available to apprehend the geometry as an identification or optimization variable. For surface identification it explores the use of distance functions, oriented distance functions, and level sets as in S. Osher and R. Fedkiw ; for surface recognition it emphasizes the construction of Courant metrics by A. M. Micheletti in 1972 and the point of view of R. Azencott and A. Trouvé in 1995 which consists in generating deformations of a reference surface via a family of diffeomorphisms. The accent will be put on the underlying mathematical foundations that it will attempt to clarify as necessary, and, if need be, on exploring new avenues.